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[求助] 微信抢红包的概率分布

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发表于 2018-10-24 12:58:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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假如$N$个人的微信群,由其中某一个人开始发随机红包,总金额为100元(这个金额的具体数字应该不大重要),个数为$N$个。
也就是说,每个人都可以抢到红包,金额随机。

这里假设金额可以是任意位的有理数,不需要精确到“一分钱”。

然后要求抢到金额最多的那个人再次发红包,红包总金额必须为他抢到金额的$K$倍,依然$N$个随机红包,人人有份。
(在任意有理数的情况下,可以保证几乎没有两个人同时最多的情况)

问:当$K$为多少时,各人净收入达到一个动态均衡状态?
即如果不算刚开始的100元支出,那么各人的净收入期望应该为$100/N$ ,此时这个静态分布会是什么。
(只有这样这个游戏才可能无限玩下去)
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-10-24 13:24:13 | 显示全部楼层
如果要达到动态均衡状态,那么:

  当$N=1$时,$K=1$;

  当$N=2$时,$K=e/2\approx 1.359141$;

对于更大的$N$,精确答案比较难计算,

可以先粗略计算一下近似答案(小数点后$4$位数字有效,第$5$-$6$位小数仅供参考):

  1. N        K
  2. 2         1.359138
  3. 3         1.770363
  4. 4         2.198043
  5. 5         2.631647
  6. 6         3.067746
  7. 7         3.505096
  8. 8         3.942886
  9. 9         4.380838
  10. 10         4.818819
  11. 11         5.256631
  12. 12         5.694577
  13. 13         6.132286
  14. 14         6.569824
  15. 15         7.007075
  16. 16         7.444206
  17. 17         7.881351
  18. 18         8.318236
  19. 19         8.754987
  20. 20         9.191809
  21. 21         9.628375
  22. 22         10.064600
  23. 23         10.500793
  24. 24         10.936771
  25. 25         11.373363
  26. 26         11.809293
  27. 27         12.245190
  28. 28         12.680790
  29. 29         13.117047
  30. 30         13.552568
  31. 31         13.987884
  32. 32         14.423397
  33. 33         14.859233
  34. 34         15.294289
  35. 35         15.729427
  36. 36         16.165332
  37. 37         16.600197
  38. 38         17.035288
  39. 39         17.470798
  40. 40         17.905530
  41. 41         18.340476
  42. 42         18.775998
  43. 43         19.210481
  44. 44         19.645826
  45. 45         20.080328
  46. 46         20.514952
  47. 47         20.950139
  48. 48         21.384695
  49. 49         21.820009
  50. 50         22.253982
  51. 51         22.689165
  52. 52         23.123789
  53. 53         23.558654
  54. 54         23.992812
  55. 55         24.427459
  56. 56         24.861534
  57. 57         25.296516
  58. 58         25.731115
  59. 59         26.165925
  60. 60         26.599787
  61. 61         27.034705
  62. 62         27.468571
  63. 63         27.903343
  64. 64         28.337519
  65. 65         28.771813
  66. 66         29.206339
  67. 67         29.639936
  68. 68         30.075003
  69. 69         30.509015
  70. 70         30.942707
  71. 71         31.377402
  72. 72         31.811750
  73. 73         32.245541
  74. 74         32.680302
  75. 75         33.114362
  76. 76         33.547838
  77. 77         33.982574
  78. 78         34.416184
  79. 79         34.850375
  80. 80         35.284756
  81. 81         35.718545
  82. 82         36.152887
  83. 83         36.586779
  84. 84         37.020968
  85. 85         37.455354
  86. 86         37.889208
  87. 87         38.323042
  88. 88         38.756465
  89. 89         39.191439
  90. 90         39.625015
  91. 91         40.059004
  92. 92         40.492812
  93. 93         40.926466
  94. 94         41.361140
  95. 95         41.794613
  96. 96         42.228592
  97. 97         42.662206
  98. 98         43.096638
  99. 99         43.530008
  100. 100         43.963620
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-10-24 15:41:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2018-10-24 16:14 编辑

“每个人都可以抢到红包,金额随机”这句话可以有两个解释,以$N=2$为例(假设红包总金额为$1$):
第一种分配方法是在$(0,1)$之间选一个实数$x$,第一个人得$x$,第二个人得$1-x$;
另一种分配方法是两个人在$(0,1)$之间各选取一个实数,记为$x,y$,第一个人得$x/(x+y)$,第二个人得$y/(x+y)$。
这两种情况下,最大值的分布函数是不一样的,希望楼主明确一下。
分布.jpg
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发表于 2018-10-24 17:17:41 来自手机 | 显示全部楼层
会均衡吗?直觉会波动很大
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 楼主| 发表于 2018-10-24 17:24:26 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-10-24 17:17
会均衡吗?直觉会波动很大


会的,而且可以容易断定$K\in [1, N]$。

比如$K=1$,那么拿最多的那个人把全部钱都发出来,这样子每次发的红包越来越小,最终发的红包总金额趋于0,各人的收益不均衡;

比如$K=N$,因为拿最多的那个人拿的钱肯定不少于$100/N$,所以他这次要发出的钱就不少于$100$了,这样每个人发出来的钱越来越多,整个系统是不平衡的。

=======

直觉上,只需要算出领到最多的那个人的钱的期望,然后100除以这个期望就等于$K$。
例如两个人时,最多的那个人至少有50块钱,至多100块钱,均匀的,所以均值是75块钱,那么$K\approx 100/75\approx 1.33$。
跟#2是结果接近。
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 楼主| 发表于 2018-10-24 17:26:29 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-10-24 15:41
“每个人都可以抢到红包,金额随机”这句话可以有两个解释,以$N=2$为例(假设红包总金额为$1$):
第一种 ...

在(0,1)中随机选N-1个点,然后划分为N段作为相应的的比例。

我觉得这个比较合理吧。其实我也在想微信的随机红包是什么分配原则...

点评

这个规律是被一个人通过2亿次测试发现的。你可以完整的复制那句话搜索一下。  发表于 2018-10-25 08:33
@wayne 这样的话单个人不可能抢到总金额的99%?  发表于 2018-10-24 19:26
每个人当前能抢到的金额服从一个0.01到当前剩余均值两倍的左开右闭区间的均匀分布  发表于 2018-10-24 18:26
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发表于 2018-10-24 18:11:37 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2018-10-24 17:26
在(0,1)中随机选N-1个点,然后划分为N段作为相应的的比例。

我觉得这个比较合理吧。其实我也在想微信 ...

问题是你怎么随机选这N-1个点?
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发表于 2018-10-24 19:09:13 来自手机 | 显示全部楼层
k太小会收敛到不均匀情况,k太大显然不平衡,但是临界点我觉得也是不平衡的
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 楼主| 发表于 2018-10-24 19:22:58 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-10-24 18:11
问题是你怎么随机选这N-1个点?

这N-1个点没有约束的呀,随便选N-1个点均匀随机数?
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发表于 2018-10-25 08:38:29 | 显示全部楼层
微信红包并不是均匀分布,因为 要保证人人有钱可分,即不能出现 最后一个人没钱可分的情况,同时注意到微信红包数不是连续量,而是离散量。

毕啸天 通过发几亿个微信红包测试,发现了 微信红包的规律。
每个人当前能抢到的金额服从一个0.01到当前剩余均值两倍的左开右闭区间的均匀分布
https://www.bilibili.com/video/av16787449,视频 16:30开始给出答案

点评

$2$楼正是基于这一假设,把准确值或近似值算出来的  发表于 2018-10-30 12:53
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