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[提问] 抢金币游戏

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发表于 2018-10-24 17:52:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一伙强盗抢劫了一批金币。为了分配,他们决定这N个强盗依次选择一个0到1之间的实数,。最终的分配方案是,先将n个实数排序成$x_1<x_2<...<x_n$,选择$x_1$的强盗可以获得相应比例的金币,选择$x_{i+1}$的强盗可以获得$x_{i+1}-x_i$份。那么第一个强盗会如何选择获得最多的金币(按比例计算)?

假设N=1,那么他将得到所有的金币(选择1)。
假设N=2,那么他将得到大约一半的金币(第一个强盗选择略微小于$1/2$,第二个强盗必然选择1)。
N≥3的情况将会如何?是否所有的强盗最终都会得到大约1/N的金币?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-10-24 19:01:59 来自手机 | 显示全部楼层
N为三的情况一号强盗及其不乐观,二号保证不少于$1/3$但可以轻松陷害一号。三号不少于$1/3$。当一号选择小于等于$2/3$,二号选择1.而一号选择$x>2/3$,二号可以选择略小于$x/2$

点评

然而感觉如果我这样算计人家……会被强盗举着刀砍死的……  发表于 2018-10-25 15:42
一号选择x>2/3,二号选择一个略小于1/3+(x-2/3)/2的数值,可以保证3号在理性情况下会选取一个略小于x的数字,这样成功坑害2号同时得到超过1/3的报酬  发表于 2018-10-25 15:42
最后这句一号选择x>2/3,二号可以选择略小于x/2这句应该是,一号选择x>2/3,二号可以选择略$大$于$x/3$吧  发表于 2018-10-25 15:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-10-25 15:55:25 | 显示全部楼层
首先第N个强盗至少可以收到1/N的金币(如果无人选取(1-1/N,1]这个区间的金币可以直接选1)
如果有人选了,那么这个问题就变成了N-1个强盗分(N-1/N)份金币的问题
递归下去就可以得知N号强盗得分最多
然后显然N-1号得分不可能高于N号(可以相等但不可能高于,因为如果N-1号的盈利更高,N号总可以选择一个略小于N-1号的数值让N-1号血本无归的同时获取一个大于自己原先收益的收益(毕竟实数稠密))

然后,我们得到结论,如果没有合作,那么1号的得分是最少的,所以1号会选择x=1/N保底。
如果按理性人假设,第i个人会选择x=i/N,因为否则的话自己的小钱钱会被抢干净

话说我可能没理解清楚大家是怎么圈钱的……
如果只有一个强盗而这个强盗选了0.5
他会得到全部的金币还是只能得到0.5份金币?

点评

那就没问题了啊……第一个强盗选1/N,第二个选2/N,……,最后一个强盗选1。 如果有哪个强盗不守规矩,最后一个强盗会教他做人的:)  发表于 2018-10-26 13:23
原来的帖子有说明,只能得到0.5,不能得到他后面的  发表于 2018-10-25 16:03
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